Oskar urodził się 1 lutego 1996 roku w Olsztynie. Ma 192 centymetry wzrostu i waży 83 kilogramy. Występuje na pozycji środkowego napastnika.

Pierwsze piłkarskie kroki stawiał w drużynie DKS Dobre Miasto, z której to w 2012 roku trafił do juniorów VfL Wolfsburg. W sezonie 2014/15 znajdował się w kadrze pierwszego zespołu, ale nie otrzymał szansy na pokazanie swoich umiejętności. Zimą 2016 roku trafił na półroczne wypożyczenie do holenderskiego FC Twente Enschede, jednak i tutaj nie potrafił przełamać strzeleckiej niemocy.

Kolejnym klubem w jego karierze było niemieckie Karlsruher SC. Na boiskach 2. Bundesligi w barwach KSC strzelił 2 gole w 14 występach. W przerwie zimowej sezonu 2017/18 zgłosiła się po niego Wisła Płock. Pierwsze pół roku nie należało do najłatwiejszych, ale już sezon 2018/19 był najlepszym w karierze, w wykonaniu Oskara Zawady. 26 meczów, 7 bramek i 1 asysta. W zeszłym sezonie zespół Nafciarzy objął trener Radosław Sobolewski, dla którego Oskar nie był już pierwszym wyborem. Wobec tego rundę wiosenną spędził na wypożyczeniu w Arce Gdynia. W 12 meczach zdobył 1 bramkę i zanotował 1 asystę.

W barwach Wisły Płock zdążył już pokazać, że potrafi strzelać bramki. Do jego mocnych stron należy zaliczyć przede wszystkim grę obiema nogami i technikę użytkową. Gra bardzo dobrze głową.

- Oskar trafia do nas na zasadzie transferu definitywnego. To zawodnik, który wpisuje się w profil napastnika świetnie pasującego do naszego systemu gry. Jego pozyskanie wzmocni konkurencję w ataku. Oskar będzie rywalizował z Vladislavsem Gutkovskisem o miejsce na pozycji numer "9" w naszym ustawieniu - powiedział dyrektor sportowy Rakowa, Paweł Tomczyk.  

Oskar, witamy #WRAKOWIE!